Matrices y Operaciones

 Álgebra de matrices

Modelos de computadora en el diseño de aviones

Para diseñar la siguiente generación de aviones comerciales y militares, los ingenieros de Phantom Works de Boeing usan el modelado en tres dimensiones y la dinámica de fl uidos basada en computadora (CFD, del inglés computational fl uid dynamics). Estos profesionales estudian cómo se desplaza el flujo de aire alrededor de un avión virtual para dar respuesta a importantes preguntas sobre el diseño antes de crear modelos físicos. El procedimiento ha reducido en forma drástica los tiempos y costos del ciclo de diseño —y el álgebra lineal desempeña un papel de gran importancia en el proceso.

El avión virtual comienza como un modelo “de alambre” matemático que existe sólo en la memoria de la computadora y en las terminales de despliegue gráfico. (En la ilustración se muestra el modelo de un Boeing 777.) Este modelo matemático organiza e influye en cada paso del diseño y la fabricación del avión —tanto en el exterior como en el interior—. El análisis de CFD tiene que ver con la superficie externa

Aunque el acabado del forro de un avión puede parecer suave, la geometría de la superficie es complicada. Además de alas y fuselaje, un avión tiene barquillas, estabilizadores, tablillas, aletas y alerones. La forma en que el aire fluye alrededor de estas estructuras determina cómo se mueve el avión en el cielo. Las ecuaciones que describen el flujo del aire son complicadas, y deben tomar en cuenta la admisión de los motores, los gases despedidos por éstos, y las estelas que dejan las alas del avión. Para estudiar el flujo del aire, los ingenieros necesitan de una descripción muy depurada de la superficie del avión.

Una computadora crea un modelo de la superficie al superponer, primero, una malla tridimensional de “cuadros” sobre el modelo de alambre original. En esta malla, los cuadros caen completamente dentro o completamente fuera del avión, o intersecan la superficie del mismo. La computadora selecciona los cuadros que intersecan la superficie y los subdivide, reteniendo sólo aquellos más pequeños que aún intersecan la superficie. El proceso de subdivisión se repite hasta que la malla se vuelve extremadamente fina. Una malla típica puede incluir más de 400,000 cuadros.

El proceso para encontrar el flujo de aire alrededor del avión implica la resolución repetida de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b que puede involucrar hasta 2 millones de ecuaciones y variables. El vector b cambia a cada momento, con base en datos provenientes de la malla y de las soluciones de ecuaciones previas. Con el uso de computadoras comerciales más rápidas, un equipo de Phantom Works puede emplear desde unas cuantas horas hasta varios días para configurar y resolver un solo problema de fl ujo de aire. Después, el equipo analiza la solución, puede hacer pequeños cambios a la superficie del avión, y comienza de nuevo con todo el proceso. Pueden requerirse miles de corridas de CFD.

Para analizar la solución de un sistema de flujo de aire, los ingenieros desean visualizar cómo fluye el aire sobre la superficie del avión. Los ingenieros utilizan gráficas, y el álgebra lineal proporciona el método para elaborarlas. El modelo de alambre de la superficie del avión se almacena como datos en muchas matrices. Una vez que la imagen se despliega en una pantalla de computadora, los ingenieros pueden escalarla, acercar y alejar regiones pequeñas, y girarla para ver partes que pudieran quedar ocultas en determinado ángulo. Cada una de estas operaciones se realiza mediante una multiplicación de matrices adecuada.

Tomado de: Álgebra lineal y sus aplicaciones. David C. Lay. 3ra Ed. 2007.