Derivadas

 UN APUNTE CONCEPTUAL

¿Se necesitan realmente los límites? Es natural preguntarse si los límites son realmente necesarios. La recta tangente es fácil de visualizar. Entonces, ¿existe alguna manera mejor o mas sencilla de encontrar su ecuación? La respuesta la proporciona la historia: los métodos del cálculo basados en límites han resistido el paso del tiempo y se usan mas hoy en día que antes.

A parte de la evidencia histórica, se puede ver directamente la razón por la que  los límites desempeñan este papel fundamental. La pendiente de una recta se puede  calcular a partir de las coordenadas de dos puntos   P = (x1, y1) y Q = (x2, y2) de esa recta:

Esta formula no se puede aplicar a la recta tangente porque solo se sabe que pasa por el punto P = (a, f(a)). Los límites proporcionan una manera ingeniosa de sortear este obstáculo. Se elige un punto Q = (a + h, f(a + h)) de la grafica y cercano a P y se considera la recta secante correspondiente. La pendiente de esta recta secante es simplemente una aproximación a la pendiente de la recta tangente:

Pero esta aproximación mejora cuando h → 0. Luego pasando al límite, estas aproximaciones se transforman en el valor exacto de la pendiente.

Tomado de:  Cálculo de una Variable. Jon Rogawski. 2da Ed. 2016